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图5. 电池B0018的预测误差分析。所有循环周期中四种模型的残差分布。 图6. 电池B0005的预测误差分析。四种模型在所有循环周期中的残差分布。 表6. 训练与测试阶段残差统计量（电池B0018） 表7. 训练与测试阶段残差统计量（电池B0005）。 图7. 分数阶参数对预测准确度的影响.黑色虚线标注了GCRA优化值(ξ*=0.85) 对应最小误差 图8. GCRA在分数阶优化过程中的收敛行为 表8. 20次独立GCRA运行的稳定性统计量 表9. 电池B0005与B0018在拐点±15周期内的性能表现。 表10. 电池B0005的Diebold-Mariano检验结果（使用测试集）。AWFRAGM模型与基准替代方案的成对比较。 Table 11. Diebold-Mariano test results for battery B0018 (using the testing set). Pairwise comparison of the AWFRAGM model against benchmark alternatives. 图9. 电池B0005的SPA检验结果。基于10,000次平稳自助重复获得的检验统计量经验分布。红色垂直线代表观测到的SPA统计量，蓝色阴影区域对应5%显著性水平下的临界域，表明该模型具有相对优势。 图10. 电池B0018的SPA检验结果。自助法SPA检验统计量的分布验证了所提出的AWFRAGM模型的优越性。观测统计量位于高置信度拒绝原假设的区间内，表明在统计学意义上没有任何竞争模型具有更优的预测性能。3.3.2. 与基准方法的比较
通过分析残差分布进行对比，其中残差定义为实测电池容量与相应模型估计值之间的差异。图5, 图6分别展示了电池B0018和B0005的残差分布情况。对于两组数据集，AWFRAGM模型生成的残差在整个生命周期内均密集分布于零值附近的狭窄带状区域内，表明其在训练阶段和测试阶段均保持较小的估计误差。所有残差值均维持在±5%范围内，且在寿命终止（EOL）区域附近未出现显著的误差累积现象。
NDGM-EnKF模型在对比模型中表现次优。其残差分布主要集中于±5%区间，但较AWFRAGM模型分布更分散，在后期退化阶段尤为明显。可观察到残差离散度略有增加图5a（临近测试周期末端），反映出长期SOH估计存在较大偏差。
EWFRAGM在早期循环中表现出相对紧凑的残差分布，但在电池寿命中期和后期阶段，其残差分布范围逐渐扩大。对于两组电池，与AWFRAGM相比，EWFRAGM均呈现出更厚重的尾部特征，且在接近寿命终止阈值（EOL）的循环周期中，较大误差的出现频率显著增加。
在所有对比模型中，WOA-BPNN产生的残差分布最为分散。针对B0005和B0018两组电池，该模型在整个测试阶段均表现出广泛的残差波动性，频繁出现大幅偏差现象。值得注意的是，在长时程预测条件下，WOA-BPNN出现接近10%量级误差的频率尤为突出。
表6定量证实了AWFRAGM方法在电池B0018上的优越性和稳定性。在测试阶段（对应寿命末期的加速衰减期），AWFRAGM取得了最低的均方根误差（0.012）和最小的残差离散度（标准差=0.011），表明其在非线性老化条件下具有极强的预测稳定性。此外，其残差偏度始终接近零值（0.09），意味着系统偏差极小。相比之下，基准模型在测试期间表现出更大的离散度和逐渐增大的正偏度，尤其是WOA-BPNN模型（偏度=1.04），反映了高曲率退化机制中的不对称误差。
模型
相位
均方根误差
标准差
偏度
AWFRAGM
训练
0.023
0.021
0.12
测试
0.012
0.011
0.09
EWFRAGM
训练
0.024
0.023
0.48
测试
0.033
0.031
0.72
NDGM-EnKF
训练
0.019
0.018
0.36
测试
0.027
0.025
0.58
WOA-BPNN
训练
0.032
0.030
0.81
测试
0.045
0.042
1.04
表7中报告的残差分析表7对于电池B0005的测试进一步验证了AWFRAGM算法在不同退化模式下的稳健性。在测试过程中，该算法始终保持最低的均方根误差（0.022）和最小标准差（0.020），表明其即使在老化进程中也能有效控制误差离散度。其偏度值始终接近零（0.14），证实不存在显著的系统性偏差。相比之下，基准模型表现出更高的波动性及明显更强的正偏态特性（尤其是WOA-BPNN达到1.08），这表明基准模型在寿命后期阶段的性能稳定性较差，且存在不对称的误差累积现象。
模型
相位
均方根误差
标准差
偏度
AWFRAGM
训练
0.015
0.014
0.10
测试
0.022
0.020
0.14
EWFRAGM
训练
0.024
0.022
0.55
测试
0.034
0.031
0.73
NDGM-EnKF
训练
0.020
0.019
0.39
测试
0.028
0.026
0.60
WOA-BPNN
训练
0.033
0.031
0.84
测试
0.047
0.044
1.08
3.3.3. 敏感性分析
通过改变分数阶参数，在所预定义的搜索区间内ξ检验所提出的AWFRAGM模型ξ对分数阶的敏感性[0,2]同时保持所有其他参数不变。为提供定量评估，ξ在区间内持续扫描，并系统记录对应的测试MAE与MAPE值。针对每一个ξ使用相同的训练-测试数据划分，为电池B0005和B0018生成了SOH（健康状态）估计结果。
由此得到的健康状态(SOH)轨迹及相关误差指标显示出与分数阶的明确依赖关系。图7进一步展示了整个ξ∈[0,2]上的连续误差分布态势ξ*=0.85，揭示出一个边界清晰的最小值区域。经GCRA优化后的参数值(ξ<0.5)恰好位于该区域底部，证实元启发式搜索在探索范围内收敛于全局性能最优解附近。当采用较低分数阶(图7)时，累积序列的平滑效果减弱，导致估算的健康状态(SOH)变异性增大(参见
随着分数阶次的增加，估计的健康状态轨迹逐渐趋于平滑。对于较大的分数阶次(ξ>1.5)，健康状态估计值对退化变化的响应会出现延迟，特别是在后期循环中。这种现象表现为接近寿命终止区域的误差水平升高，以及与中等分数阶次设置相比更宽的残差分布范围。
分数阶ξ*通过GCRA策略优化后，两种电池均持续获得最低的MAE和MAPE值。在此最优设定下(ξ*=0.85)，APE分布最集中分布于零附近，且训练与测试阶段的数据离散范围最窄(参见图7)。此外，误差曲线在ξ*附近相对平缓的曲率表明存在一个鲁棒性区间，该区间内适度的参数偏离仍能保持系统稳定性。ξ仅导致轻微的性能下降。这一特性对于实际电池管理系统（BMS）应用尤为重要，因为持续重新优化可能并不总是可行。
这些结果表明荷电状态（SOH）估算精度会随分数阶次的选择而显著变化，且自适应优化ξ对于在不同退化阶段实现稳定且精确的性能至关重要。3.3.4. GCRA收敛性与稳定性分析
为验证GCRA在分数阶辨识中的优化稳定性，图8展示了该算法的收敛行为。目标函数在早期探索阶段呈现快速下降趋势，随后在迭代后期逐步细化，表明算法在探索与开发之间实现了有效平衡。收敛通常在达到最大迭代次数前完成，证实了计算效率。图8目标函数在探索初期呈现快速下降特征，随后进入渐进优化阶段，表明算法兼具全局搜索与局部开发能力。收敛过程均能在大幅低于最大迭代次数时完成，验证了其计算高效性。
为进一步评估算法对随机效应的鲁棒性，优化过程在20次独立运行中重复进行，每次均采用不同的随机初始化参数。结果报告于表8所获得的最优分数阶参数ξ其标准差低于1.5%，而对应的平均绝对误差（MAE）变化幅度始终保持在2%以内。这些结果表明，基于GCRA的优化能够产生稳定且可复现的解，从而缓解了元启发式搜索过程中随机变异性的担忧。
电池
平均绝对误差（均值±标准差）
平均绝对百分比误差（均值±标准差）
均方根误差（均值±标准差）
B0005
0.0181 ± 0.0003
0.529 ± 0.008
0.0222 ± 0.0004
B0018
0.0091 ± 0.0002
0.607 ± 0.007
0.0121 ± 0.0003
3.3.5. 针对膝点转变的定向分析
为严格评估模型对退化状态转变的响应能力，本研究以电池B0005和B0018的拐点为中心，在对称±15周期窗口内进行了局部化评估。该拐点通过健康状态(SOH)轨迹的曲率变化确定，对应于容量加速衰减的起始阶段。局部预测误差汇总如表9正如预期，所有模型在该窗口期内的平均绝对误差和平均绝对百分比误差值均高于整体测试性能，证实拐点区域构成了最具挑战性的预测阶段。
空白单元格
B0005
空白单元格
B0018
空白单元格
模型
MAE
平均绝对百分比误差（%）
MAE
平均绝对百分比误差（%）
AWFRAGM
0.0078
0.92
0.0091
1.05
EWFRAGM
0.0116
1.38
0.0128
1.49
NDGM-EnKF
0.0139
1.67
0.0154
1.82
WOA-BPNN
0.0164
1.95
0.0182
2.14
对于电池B0005，AWFRAGM模型实现了0.0078的平均绝对误差和0.92%的平均绝对百分比误差，其表现优于EWFRAGM（0.0116）、NDGM-EnKF（0.0139）和WOA-BPNN（0.0164）。相较于EWFRAGM，其平均绝对误差降低约33%。对于呈现略微更陡峭拐点后性能衰减的电池B0018，所有模型的误差均有所增加。尽管如此，AWFRAGM仍保持最佳的局部性能（平均绝对误差0.0091，平均绝对百分比误差1.05%），优于EWFRAGM（0.0128）、NDGM-EnKF（0.0154）和WOA-BPNN（0.0182）。相对改进效果保持稳定，与EWFRAGM相比平均绝对误差降低约29%，与WOA-BPNN相比降低近50%。
值得注意的是，采用固定累积结构的NDGM-EnKF对斜率突变的适应性表现滞后，导致其系统性低估了加速退化现象。相比之下，AWFRAGM的自适应加权机制与分数阶反向累积结构能更快地适应动态变化的退化过程。实验结果证实，AWFRAGM在状态转换阶段的优势尤为显著，这直接验证了其在预测拐点行为方面的优越性，从而提升了电池健康管理应用中的实际可靠性。3.3.6. 物理一致性
由所提出的AWFRAGM模型估计的SOH轨迹在两种电池的整个生命周期中都呈现出物理一致的退化模式。如图所示Figs. 3d和4d，估计的SOH遵循单调递减趋势，这与LIB容量衰减的不可逆特性相符C. Li等人，2025且不会呈现非物理性振荡或数值伪影。该估计退化过程从早期准线性区平稳过渡至后期循环中观察到的加速退化状态。这种转变的捕捉未在训练-测试边界处出现突变或不稳定现象，表明模型保持了时间连续性且未依赖于对训练数据的过拟合。
此外，估算的健康状态（SOH）轨迹与70%额定容量的预设寿命终止阈值（EOL）相交的循环次数点，与实测退化数据相符。这种一致性证实了模型生成的SOH估算值既符合既定的电池老化评判标准，也与电池管理系统（BMS）对电池失效的实际定义相吻合。总体而言，所提出的AWFRAGM方法能够生成数值稳定且物理意义合理的SOH估计值，这些结果与已知的锂离子电池（LIB）退化机制相一致，表明该方法适用于实际预后应用场景。 （说明：根据学术翻译规范，处理要点如下： 1. 专业术语统一处理：SOH（健康状态）、EOL（寿命终止）、BMS（电池管理系统）、LIB（锂离子电池）等首字母缩略词保留英文原词 2. 技术概念准确转化："numerically stable"译为"数值稳定"，"physically plausible"译为"物理意义合理" 3. 被动语态转换："remain coherent with"转化为主动态"符合" 4. 长句拆分：将原文复合句按中文表达习惯分解为多个分句 5. 量值规范：保持"70%"数字形式与原文一致 6. 机构名称保留：AWFRAGM作为方法名称不予翻译）3.4. 进一步测试与分析
为全面评估预测结果的稳健性与统计可靠性，本研究采用基于正式假设的预测准确性检验。除逐点误差指标外，还运用Diebold-Mariano（DM）检验和Superior Predictive Ability（SPA）检验，以验证所提出的AWFRAGM模型与基准模型在测试周期内表现差异是否具有统计学显著性。
3.4.1. DM检验
DM检验(Zhou et al., 2021)用于对所提出的AWFRAGM模型与各基准模型进行成对比较，实验采用电池B0005和B0018的测试数据集完成。该检验基于平均绝对百分比误差(MAPE)构建的损失微分序列实施，这与本研究采用的主要评估标准保持一致。
针对每个电池数据集，零假设假定AWFRAGM与基准方法的预测精度相等，而备择假设则表明AWFRAGM具有更优的预测性能。所得DM统计量及相关p值汇总于表10, 表11分别对应电池B0005与B0018的数据。
成对比较
DM统计量
p值
相对平均绝对误差降低率(%)
相对平均绝对百分比误差降低（%）
NDGM-EnKF
2.18**
0.029
25.0
73.8
EWFRAGM
3.47***
0.001
37.9
83.0
WOA-BPNN
4.92***
< 0.001
56.1
90.7
** 和 *** 分别表示在5%和1%显著性水平上具有统计学意义
Pairwise comparison
DM statistic
p-value
Relative MAE reduction (%)
Relative MAPE reduction (%)
NDGM-EnKF
2.41**
0.016
59.1
71.0
EWFRAGM
3.89***
< 0.001
66.7
84.2
WOA-BPNN
5.36***
< 0.001
76.9
88.4
** 和 *** 分别表示在5%和1%显著性水平上具有统计学意义
在两组数据集中，当比较AWFRAGM与EWFRAGM及WOA-BPNN时，计算所得的DM统计量主要为正值，且超过5%显著性水平下的对应临界值。在与NDGM-EnKF的对比中，DM统计量在大多数情况下仍保持5%水平的统计显著性，其相对较小的幅度反映了这两种灰色模型之间更为接近的预测性能。这些结果证实了在测试周期内，AWFRAGM与基准模型之间确实存在具有统计显著性的预测精度差异。3.4.2. SPA试验
为补充成对DM分析并控制多重模型比较引起的数据窥探效应，本研究采用Hansen (2005)提出的SPA检验方法。Hansen (2005)该检验方法通过同步评估所有模型，判断是否存在竞争模型在统计意义上展现出优于指定基准的预测性能。
本研究将提出的AWFRAGM模型作为基准模型，而将NDGM-EnKF、EWFRAGM和WOA-BPNN作为备选预测模型。损失函数采用基于测试周期内各电池数据集MAPE预测误差进行定义。通过采用10,000次重复的平稳自助法，近似SPA检验统计量的经验分布，并确保损失差分序列依赖性下的稳健性。
SPA检验统计量的经验自助法分布展示于图9B0005数据集的图10针对B0018数据集。在两种情况下，SPA检验均未能在5%显著性水平上拒绝所提出的AWFRAGM具有更优预测能力的原假设。具体而言，对于B0005电池组，观测到的SPA统计量为1.38，其关联p值表明在1%水平上具有统计显著性。类似地，对于B0018电池组，SPA统计量达到1.21，该结果在1%水平上同样具有统计显著性。此外，在所有竞争模型中，相对于AWFRAGM的最大损失差分始终保持非正值，且相应的SPA检验p值均超过选定显著性阈值，这为所提出模型具有稳健预测优越性提供了进一步证据。
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